pgc2021比赛时间-pgc半决赛bc

∠ACB=120°以AC,BC边长向外作正三角形ACF,BCE,点P、M、N分别为AB、CF、CE的中点、求证PM=PN，∠MPN=60°

证明：（1）AC中点为D，BC中点为G，连接MD、NG

M为CF中点，D为AC中点，所以MD为△ACF中位线

MD=AF/2，且MD∥AF，∠MDC=∠FAC=60

P为AB中点，D为AC中点，所以PD为△ABC中位线

PD=BC/2，且PD∥BC，∠PDC+∠ACB=180

∠PDC=60

∠MDP=∠MDC+∠PDC=120

N为CE中点，G为BC中点，所以NG为△BCE中位线

NG=BE/2，且NG∥BE，∠NGC=∠EBC=60

P为AB中点，G为BC中点，所以PG为△ABC中位线

PG=AC/2，且PG∥AC，∠PGC+∠ACB=180

∠PGC=60

∠PGN=∠PGC+∠NGC=120

因为AC=AF，所以MD=PG

因为BC=BE，所以PD=NG

且∠MDP=∠PGN=120

所以△MDP≌△PGN，PM=PN

（2）PG∥AC，PD∥BC

所以四边形CDPG为平行四边形，∠DPG=∠DCG=120

由△MDP≌△PGN可得，∠GPN=∠DMP

∠MPN=∠DPG-（∠DPM+∠GPN）=120-（∠DPM+∠DMP）

因为∠DPM+∠DMP=180-∠MDP=180-120=60

所以∠MPN=120-60=60

如图，已知在正方形ABCD中，AB=2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，连接AP．过点P作PF⊥AP，

（1）证明：在边AB上截取线段AH，使AH=PC，连接PH，

由正方形ABCD，得∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=AD，

∵∠APF=90°，

∴∠APF=∠B，

∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APF+∠FPC，

∴∠PAH=∠FPC；

又∵∠BCD=∠DCE=90°，CF平分∠DCE，

∴∠FCE=45°，

∴∠PCF=135°；

又∵AB=BC，AH=PC，

∴BH=BP，即得∠BPH=∠BHP=45°，

∴∠AHP=135°，即得∠AHP=∠PCF；

在△AHP和△PCF中，∠PAH=∠FPC，AH=PC，∠AHP=∠PCF，

∴△AHP≌△PCF，

∴AP=PF．

（2）解：⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切．

延长CB至点M，使BM=DG，连接AM，

由AB=AD，∠ABM=∠D=90°，BM=DG，

得△ADG≌△ABM，即得AG=AM，∠MAB=∠GAD；

∵AP=FP，∠APF=90°，

∴∠PAF=45°，

∵∠BAD=90°，

∴∠BAP+∠DAG=45°，即得∠MAP=∠PAG=45°；

于是，由AM=AG，∠MAP=∠PAG，AP=AP，

得△APM≌△APG，

∴PM=PG，

即得PB+DG=PG，（2分）

∴⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切．（1分）

（3）解：由PG∥CF，得∠GPC=∠FCE=45°，（1分）

于是，由∠BCD=90°，得∠GPC=∠PGC=45°，

∴PC=GC．即得DG=BP．（1分）

设BP=x，则DG=x．由AB=2，得PC=GC=2-x，

∵PB+DG=PG，

∴PG=2x．

在Rt△PGC中，∠PCG=90°，得sin∠GPC＝

CG

PG

＝

2

2

．（1分）

即得

2?x

2x

＝

2

2

，

解得x＝2

2

?2，（1分）

∴当BP＝(2

2

?2)时，PG∥CF．（1分）

已知正方形ABCD，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F。求证：DP⊥EF

证明:延长EP交BC于G,延长PD,交EF于H

∵PGCF是正方形

∴PG=PF

在Rt△PDG和Rt△PEF中

PE=EA=PG

PG=PF(已证)

∴Rt△PDG≌Rt△PEF

∴∠DPG=∠EFP

∵∠DPG=∠EPH(对顶角)

∴∠EPH=∠EFP

∵∠EFP+∠FEP=90°

∴∠EPH+∠FEP=90°

∴PD⊥EF

请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图1，已知△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意

结论：PE-PF=CD．（2分）

证明：

过点C作CG⊥PE于G，

∵PE⊥AB，CD⊥AB，

∴∠CDE=∠DEG=∠EGC=90°．

∴四边形CGED为矩形．（3分）

∴CD=GE，GC∥AB．

∴∠GCP=∠B．

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB．

∴∠FCP=∠ACB=∠B=∠GCP．

在△PFC和△PGC中，

∠F＝∠CGP＝90° ∠FCP＝∠GCP CP＝CP

，

∴△PFC≌△PGC（AAS）．（5分）

∴PF=PG．

∴PE-PF=PE-PG=GE=CD．（6分）

（2014?铁岭）如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线

（1）如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠FCG=90°，

∵P是GF的中点，

∴PC=PF=PG，

∴∠PCG=∠PGC，

∵∠PGC=∠HGA，DE⊥AB

∴∠A+∠HGA=90°，

∴∠A+∠PGC=90°，

∵∠A=∠ACO，

∴∠ACO+∠HGA=90°，

∴∠PCO=90°，

∴PC是⊙O的切线；

（2）如图2，连接OE，交AC于点M，

∵AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，

∴

AD

＝

AE

，

∵

AC

=

DE

，

∴

AE

＝

EC

，

∴OE⊥AC，

∴∠OMA=90°，

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，

∴∠AOM=45°，

∵AO=1，

∴OM=

2

2

，

∵

AC

=

DE

，

∴AC=DE，OH=OM，

∴OH=OM=

2

2

．

△ABC中,AB=AC,在AC上取一点P,过点P作EF⊥BC，交BA的延长于点E，垂足为点E，垂足为点E，垂足点为F。

过P点作AB的平行线交BC于G。

∵DG∥AB

∴∠PGC＝∠ABC＝∠BAC

∵△PGC是等腰三角形，且PF⊥GC

∴∠FPG＝∠FPC　　　（等腰三角形的高平分顶角）

∵∠APE＝∠FPC　　　（对顶角相等）

　∠AEP＝∠FPG　　　（平行线同位角相等）

∴∠APE＝∠AFP

∵△AEP是等腰三角形　　　

∴AE＝AP

证毕。